数学开放式课程学习指引
vanJker
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國立台灣大學 齊震宇
國立台灣大學 謝銘倫
- 綫性代數
逻辑、集合论
簡易邏輯
在联结词构成的复合命题中，命题的语义和真值需要分开考虑，特别是联结词 $\implies$。以 $p \implies q$ 为例 (注意 $p$ 和 $q$ 都是抽象命题，可指代任意命题，类似于未知数 $x$)，如果从 $p$ 和 $q$ 的语义考虑，很容易就陷入语义的 “如果 $p$ 则 $q$” 这类语义混淆中，导致强加因果，但因为在逻辑上 $p$ 和 $q$ 可以没有任何关系，所以此时忽略它们的语义，而只根据它们的真值和相关定义上推断该复合命题的真值 ($p \implies q$ 等价于 $(\neg p) \lor q$)。简单来说，逻辑上的蕴涵式包括语义上的因果关系，即因果关系是蕴涵式的真子集。
第 16 页的趣味问题可以通过以下 “标准” 方式 (这里的 “标准” 指的是一种通用方法思路，并非应试教育中的得分点) 来解决:
令悟空、八戒、悟净和龙马分别为 $a, b, c, d$，令命题「$X$ 第 $Y$」为 $XY$，例如 “悟空第一” 则表示为命题 $a1$，则有以下命题成立:
性质也是命题，即其真假值可以谈论 (但未必能确定)。但正如第 22 页的注一所说，一般不讨论性质 $A(x)$ 的真假值，只有将具体成代入时才有可能谈论其真假值 (这很好理解，抽象的不定元 $x$ 可以代表无限多的东西，代入性质 $A(x)$ 的真假值可能并不相同)。但是需要注意后面集合论中虽然也使用了性质来定义群体，但是此时的性质表示 $A(x)$ 这个命题为真，即 $x$ 满足 $A$ 这个性质。所以需要细心看待逻辑学和集合论的性质一次，它们有共同点也有不同点。
处理更多不定元的性质时，按照第 24 ~ 27 页的注二的方法，将其转换成简单形式的单一不定元的性质进行处理。
集合概念簡介
第 42 页上运用了类似的化简不定元技巧，通过括号将同一时间处理不定元数量减少为 1.除此之外，这里还有一个不等式和区间/射线符号的技巧: 不带等号的不等式和区间/射线符号搭配使用时，需要反转区间/射线符号，这个技巧可以从区间/射线符号的定义推导而来。以该页最后的例子为例:
倒数第二个例子也类似:
第 45 ~ 46 页分别展示了例行公事式的证明和受过教育似的证明这两种方法，需要注意的是第一钟方法使用的是 逻辑上等价 进行推导 (因为它一次推导即可证明两个集合等价)，而第二种方法使用的是 蕴涵 进行推导 (因为它是通过两个方向分别证明包含关系，不需要等价性推导)。例行公事式的证明的要点在于，事先说明后续证明涉及的元素 $x$ 的性质，然后在后续证明过程中某一步将这个性质加入，进而构造出另一个集合的形式。
练习一:
例行公事式的证明
练习二:
例行公事式的证明
初等整數論
第 13 页 (反转了的) 辗转相除法的阅读顺序是：先阅读左边，在阅读右边，右边的推导是将上面的式子代入到下面的式子得来。
群、群作用與 Burnside 引理
第 16 页的 $Perm(X)$ 表示 $X$ 的元素进行置换对应的所有映射构成的集合，这个集合的基数为 $8!$。表示这个集合的某个元素 (也就是置换对应的映射)，可以用投影片上的形如 $(1\ 4\ 2)(3\ 7)(5)(6)$ 来表示，比较直观的体现这个映射的效果。
第 18 页子群定义的结合律一般不需要特别考虑，因为子群的任意元素属于群，而群的元素都满足结合律，所以子群的任意元素都满足结合律。
第 18 页的证明提示「消去律」，是指在证明子群性质时利用群的 可逆 和 单位元 性质进行证明。因为依据定义，群的单位元可作用的范围比子群的单位元作用范围广。
第 22 页的正八边形共有 16 种保持轮廓的变换 (8 种旋转和 8 种反面)，类似的，正十六边形则有 32 种保持轮廓的变换 (16 种旋转和 16 种反面)。这只是一种找规律问题，观察第 23 和 24 页分别列举的旋转和反面映射，可以获得这个规律的直觉。总结一下，正 $n$ 边形一共有 $2n$ 种保持轮廓的变换方法 ($n$ 种旋转和 $n$ 种反面)
线性代数
将现实世界给我们的启发，从它们当中抽取出规则，然后作用到数学的对象上，接着可能在发展了一些东西后，套回现实世界中去，但是我们需要知道它们 (数学世界和现实世界) 的分别在哪里。大部分场景不需要讨论这个分别，但在某些特别场景下，知道这个分别对我们会有特别的帮助。
向量 (vector) 的加法一个二元运算，而向量集合 $V$ 和向量加法运算 $+$ 构成了一个交换群 $(V, +)$:
$(V, +)$ 是 交换 的: $\forall a, b \in V (a + b = b + a)$ 可以通过平行四边形的对角线来证明
$(V, +)$ 是 结合 的: $\forall a, b, c \in V ((a + b) + c = a + (b + c))$ 可以通过平行六面体的对角线来证明
$(V, +)$ 有 单位元: $\exist e \in V \forall v \in V (v + e = v = e + v)$ 零向量即是这个单位元
$V$ 的每个元素都对 $+$ 可逆: $\forall v \in V \exist \overset{\sim}{v} (v + \overset{\sim}{v} = e = \overset{\sim}{v} + v)$ 任意向量 $v$ 的反元素是 $-v$